Normal deviations from the averaged motion for some reaction–diffusion equations with fast oscillating perturbation

We study the normalized difference between the solution u of a reaction–diffusion equation in a bounded interval [0,L], perturbed by a fast oscillating term arising as the solution of a stochastic reaction–diffusion equation with a strong mixing behavior, and the solution ū of the corresponding averaged equation. We assume the smoothness of the reaction coefficient and we prove that a central limit type theorem holds. Namely, we show that the normalized difference (u − ū)/√ converges weakly in C([0, T ];L2(0,L)) to the solution of the linearized equation, where an extra Gaussian term appears. Such a term is explicitly given. © 2009 Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Résumé Nous étudions la différence normalisée entre la solution u d’une équation de réaction–diffusion sur un intervalle borné [0,L], perturbée par un terme rapidement oscillant qui apparaît comme solution d’une équation stochastique de réaction–diffusion avec un comportement fortement mélangeant, et la solution ū de l’équation correspondante moyennée. Nous supposons que le coefficient de réaction–diffusion est régulier et qu’un théoréme du type de la limite centrale s’applique. Nous montrons que la différence normalisée (u − ū)/√ converge faiblement dans C([0, T ];L2(0,L)) vers la solution de l’équation linéarisée, où un terme gaussien supplémentaire, donné explicitement, apparaît. © 2009 Elsevier Masson SAS. All rights reserved. MSC: 60H15; 60F05; 70K65; 37C40